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lunes, 18 de abril de 2011

Escalones paradójicos o el mérito de Pitágoras

Todos recordamos el teorema de Pitágoras.  Nos lo enseñaron de niños.  "En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos".  Esta verdad que raras veces alguien se cuestiona, presenta ciertos problemas cuando nos acercamos a ella de forma llamémosle empírica y es el objeto de esta entrada:

Imaginemos un triángulo rectángulo con dos lados iguales (o sea, isósceles) como el de la figura.  Vemos que en el mismo, los dos catetos tienen longitud 10.   Es decir, los dos catetos, suman 20.  Ahora imaginemos, que no conocemos el teorema de Pitágoras (y mucho menos, por más modernos, tenemos conocimientos de análisis matemático) y queremos hallar la longitud de la hipotenusa.

Una aproximación que parecería lógica es hacer "escalones" desde el inicio hasta el final de la hipotenusa, como se ve en la figura, cada vez más pequeños, con idea de conseguir unos escalones tan diminutos que sean indistinguibles a simple vista, de modo que aproximemos la hipotenusa por medio de escalones, así como estudiar como varía la suma de las medidas de los escalones, a medida que nos acercamos más y más a la hipotenusa.   Lo siento, no sirve de nada.  En este caso la conclusión es que la hipotenusa mide 20, algo que de otra forma, con una cuerda, por ejemplo, podemos ver que no es así.  Una aparente paradoja.

En la figura, se ven en distinto color, los escalonamientos mencionados, para aproximar la longitud de la hipotenusa.

Vemos pues, que lo evidente, por aprendido en la infancia, no lo es tanto si nos despojamos de ese conocimiento previo.  Vamos, que tiene un mérito enorme el teorema.   Como curiosidad, comentar que es uno de los teoremas que más demostraciones distintas tiene,  Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de Magíster matheseos.

4 comentarios:

  1. Por mi parte, Deapié, tu ya tienes el grado de Magister Matasesos.

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  2. Normal que no cuadre, es un redondeo a la alta acumulado.
    Y da lo mismo lo diminuto de los fragmentos en que hayamos dividido la hipotenusa, hemos divido por N para luego volver a multiplicar por N.
    No podemos pretender minimizar el margen de error reduciendo la magnitud a una escala microscópica, si luego el resultado hay que restituírlo a su tamaño real.

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  3. Me encantan vuestras entradas, siempre son tan diferentes. muy buena.

    Besos

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  4. Efectivamente, Herel. Se trata de un método un tanto ingénuo, más en el terreno empírico que en el de la abstracción.

    Gracias Ana. Me alegra que además de que os guste, me lo digais, ya que así además me entero. ;)

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