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viernes, 30 de septiembre de 2011

Series: Un dolor de cabeza, pero interesante

Entre otras muchas cosas que me siguen sorprendiendo de la matemática, está el tratamiento de lo infinito, aún habiendo aprehendido algo el concepto o su tratamiento.   Pensemos en sumar la siguiente serie infinita (a cuya suma, en un alarde de originalidad, llamaremos S):

S= 1 - 1 +1 -1 + .....

Bueno, ¿ cuánto suma ésto ?

Si hacemos lo siguiente S = (1-1) + (1-1) + (1-1) + ....          diríamos que la suma es cero.

Si hacemos lo siguiente S = 1 + (-1+1) + (-1 + 1) + (-1+1) + ... diríamos que la suma es uno

Aún podemos hacer muchas más cosas, entre ellas ésta:

1- S = 1 - (1-1+1-1+......) = S, de modo que S=1/2

Difícil decirlo ¿no?.   Durante mucho tiempo este tipo de series fué objeto de disputas entre los matemáticos.

La cuestión es que lo infinito no se puede tratar igual que lo finito y determinadas operaciones que sobre lo finito son válidas, al tratar con lo infinito no lo son en absoluto, como por ejemplo las agrupaciones realizadas.

Otra idea al respecto es:  si paramos la serie en un punto aleatorio, no en el infinito, la suma será cero o uno, así que en unos términos probabilísticos, la suma de la serie sería 1/2.

Al final de todo, por no extenderme mucho más, ni entrar en ciertas honduras, resultó que el concepto de suma fué extendido por los matemáticos para tratar con este tipo de problemas.   Digamos que, en el sentido tradicional esta serie no tiene suma definida y con otros conceptos de suma, esta serie tiene como suma 1/2.

Resulta curioso como las cosas aparentemente más sencillas, se complican "en contacto con el infinito".

Hale, otra chapa matemática.

8 comentarios:

  1. Bueno, si queremos una idea de lo infinito, podemos pensar en la bestialidad humana.

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  2. Madre mía, odio decir eso de "yo es que soy de letras" pero en esta ocasión (o tal vez por la hora que es), no se me ocurre nada distinto!!

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  3. El infinito es leer a neruda escuchando a bach y viendo desde el cercanías un atradecer entre montañas. Siempre me suspendieron en matemáticas, es lo que tiene ser poeta. Saludos.

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  4. Ya son ganas de complicar la vida, habiendo pocas cifras y además bajas, lían la cosa para que sea complicado. jejeje

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  5. pues mira que a mí el asunto de la infinitud de los números siempre me ha traído de cabeza. ¿En cuántas partes se puede dividir una unidad teórica? en infinitas... de modo que nunca podríamos pasar del 1 al 2, siempre existe el 1,9999999999... de manera que en teoría solo existen dos números, la unidad y el cero que es la nada.
    Expuesta mi superteoría a mi antigua profesora de filosofía, me espetó: Muy bien pensado, aunque llegas un poco tarde. Ese debate lo abrió Zenón en el siglo IV a.C. y retrasó las matemáticas durante 300 años.
    bien, pues yo la retraso otros 300
    ala

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  6. Soy totalmente incapaz de entender estos galimatías científicos -como lo de los neutrinos también - y luego mis amigos me llaman poeta y me dicen que no me entienden. Y esto qué???? :)

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  7. Me ha resultado súper entretenido volver a ver series, teorías sobre el infinito... Qué tiempos y qué debates!

    Un beso
    Lourdes

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  8. Bueno, como cantaban en la revista: Graaacias por veeeenir.

    Raul Rentero: El hecho de que la idea la hubiese tenido muchos años antes Zenón de Elea, no le quita ningún mérito a una idea original. En cuanto al 1,99999..... hasta el infinito, es demostrable que es igual a dos. En wikipedia, creo que tienes una demostración de que 0,999......... es igual a 1.

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